일반적으로 매우 회귀하여 일어날 확률이 아주 작은 경우에 포아송(Poisson) 분포를 사용한다. 예를 들어 고속도로 상에서 하루동안 발생하는 교통사고에 의한 사망자수, 어느 집에 한 시간 동안 걸려 오는 전화 통화수, 1주일간 어떤 동사무소에 접수되는 사망신고수, 하루동안 정전되는 횟수 등과 같이 회귀한 사건의 수를 확률 변수로 할때 이다.
구체적으로 포아송 분포가 적용되기 위해서는 다음의 가정을 만족하여야 한다.
- 독립성 : 한 단위 시간이나 공간에서 출현하는 성공횟수와 중복되지 않는 다른 단위 시간이나 공간에서 출현하는 성공횟수는 서로 독립이다.
- 비집략성 : 극히 작은 시간이나 공간에서 둘 또는 그 이상의 성공이 같이 일어날 확률은 매우 작으며 0으로 간주된다.
- 비례성 : 단위 시간이나 공간에서 성공의 평균출현횟수는 일정하며, 이는 시간이나 공간에 따라 변하지 않는다.
확률 분포 X가 위의 세가지 조건을 만족 할때, 성공의 평균출현 횟수를 m이라고 하고 하면 X의 확률 분포는 다음의 포아송 분포를 따른다.
포아송분포
예제 (1)
화재 보험사에서 1,860명의 보험계약자를 보유하고 있는데, 1년의 화재가 발생하여 보험금을 청구 할 확률이 1/600이다. 어느 해에 보험 계약자 중 화재 보험금을 청구하는 횟수를 확률 변수 X로 하여 0,1,2,3 인경우의 확률을 구하라
풀이
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| 포아송 분포 문제 풀이 |
예제 (2)
은행에서 하루 평균 6건의 불량수표를 받게 된다고 할 때, 어떤 특정한 날에 불량수표를 4번 받을 확률은?
풀이
dpois(x=4, lambda = 6)## [1] 0.1338526포아송분포의 평균과 분산은 다음과 같다.
평균 = m
분산 = m
포아송 분포의 분산이 m인 이유는 이항분포에서 직관적으로 설명될 수 있다. 이항분포의 nqp이며, m = np로 고정시키고 p가 0에 가까워질 때 p는 1 이므로 npq->m임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 포아송분포에서는 평균과 분산이 모두 m 이다.
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