시계열 분석 이동평균모델

   이동평균 moving average(MA) 모델은  각 시점의 데이터가 최근의 과거 값에 대한  '오차'항으로 구성된 함수로 표현된 과정에 의존한다.   이때 각 오차항은 서로 독립 적이다.  AR  모델과 동일 한 일련의 단계로 이 모델을 검토하겠다. 

NOTE_AR MA 동등성

   여러 상황에서 MA 과정은 무한 차수의 AR 과정으로 표현 될 수 있다. 마찬가지로 무한 차수의 MA 과정으로 AR 과정을 표현 할 수 있는 상황도 많다. 자세한 내용은 MA 과정의 가역성invertibility, 월드표현정리 wold representation theor드, MA/AR 과정의 이중성을 살펴 보기 바랍니다.

모델

  이동평균 모델은 자귀회귀 모델과 유사하게 표현될 수 있다.  단 선형 방정식을 구성하는 항들이 과정 자체에 대한 현재와 과거의 값이 아니라,  현재와 과거의 오차항을 가리킨다는 점이 다르다.  따라서 차수 q에 대한 MA 모델은 아래와 같이 표현 할 수 있다. 

이동평균 모델식

경제 학자들은 이러한 오차항을 시스템에 대한 '충격'이라고 표현한다.  반면 전기 공학자들은 이를 일련의 자극이며,  모델 자체를 유한자극 응답필터 finite impulse response filter 라고 표현한다.   유한 자극응답필터는 모든 자근의 효과가 유한한 시간동안 유지 된다는 것을 의미 한다. 

사실 표현이 중요한것이 아니다.  여러 다른 과거의 시간에 발생한 독립적인 사건이 과정의 현재 값에 영향을 미친다는 개념이 중요하다.  즉, 각 사건이 개별로 현재의 값에 기여한다는 것이다. 

백 시프트 연산자 지연 연산자 lag operator 라고도 알려진 백시프트 연산자 backshift operator는 시계열 데이터에 대한 연산을 수행 함. 이 연산은 적용될 때마다 한 번의 시간 단계만큼 과거로 이동 한다. 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

백 시프트 연산자는 시계열 모델을 간단히 하는데 유용하다. MA 모델을 다음과 같이 다시 작성 할수 있다.

백 시프트 연산자 

정의상 MA 모델은 파라미터에 대한 어떠한 제약사항도 부여할 필요가 없는 약한 정상성을 띈다. 이는 오차항이 평균을 0으로 하는 독립항등분포하고 가정하여 MA 과정의 평균과 분산 모두가 유한하고 시간에 따라 불변하기 때문이다.  이러한 특성은 다음과 같이 표현될 수 있다. 

MA 모델

과정의 분산을 계산하기 위해서는 각 $e_t$ 항이 독립항등분포를 따르며 무작위 변수 두 개의 합은 각 변수의 분산에 변수들 간 공분산의 두 배를 더한 것이라는 일반적인 통계적 속성을 사용한다.  도한 독립항등분포를 따르는 변수들 간의 공분산은 0 이므로 다음과 같은 식이 만들어 진다. 

독립 항등분포 공분산

따라서 MA 과정의 평균과 분산 모두 파라미터 값에 상관없이 시간에 따라 일정한 값을 가진다.

# 참고서적 :  실전 시계열 분석 , 한빛 미디어